Fondamenti della meccanica atomica
Dunque λ dovrà avere uno dei valori
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purchè si convenga che n può assumere anche valori negativi: allora ponendo , la (31) dà (sviluppo di Fourier in forma esponenziale)
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formula che si estende anche ai valori negativi di ω.
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(1) Poichè supponiamo di osservare solo le onde «progressive», consideriamo solo i valori positivi di k.
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(v. nota a pag. 155), applicando le ordinarie leggi dell'elettromagnetismo e prendendo come densità elettrica e come densità di corrente i valori
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Dalla (184) e dalla (190) risulta che la E deve avere uno dei valori
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ed i soli valori possibili per la E sono quindi quelli dati da
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Diamo qui, per comodità del lettore, le espressioni esplicite delle funzioni sferiche corrispondenti ai primi 4 valori di l, che più spesso
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Le espressioni esplicite corrispondenti ai primi valori di n ed lsono, posto le seguenti:
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Osserviamo che due autofunzioni corrispondenti a valori di m uguali e di segno contrario differiscono solo per il segno dell'esponente e quindi sono
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di f costanti suscettibili di valori continui se ne introducono altrettante, ma suscettibili di valori discreti.
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e quindi la condizione di Sommerfeld J = nh dà per E i valori
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Riassumendo, fissato n, il quanto azimutale k può assumere solo gli n valori
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, nel senso che i valori numerici che da essa si ricavano per le varie quantità aventi significato fisico (energia, momento angolare, ecc.) sono
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valori dell'energia corrispondenti alle orbite dello stesso quanto totale n: allora ogni livello energetico si scinderà in un gruppo di livelli
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valori medi.
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I valori estremi corrispondono evidentemente, nel modello intuitivo, a j antiparallelo, o parallelo, al campo. Naturalmente, se j è intero, anche i
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Tornando ora ai sistemi idrogenoidi ed ai metalli alcalini, si osservi che ai due valori del quanto interno j corrispondono due livelli energetici
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dando a tutti i valori interi (positivi o negativi) che non rendono negativo il secondo membro. L' intensità di ciascuna di queste componenti
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Ciò premesso, nel salto quantico di cui sopra gli integrali di fase passano dai valori ai valori : perciò l'energia emessa è
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Se per h, m, c si pongono i loro valori numerici, si trova
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Unica condizione richiesta alla funzione F(a) è di essere univocamente definita per tutti i valori An di a.
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Fissiamo k, e diamo ad m i successivi valori 1, 2, ...: avremo le equazioni
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Xr: se invece la X ha uno spettro continuo di valori X', con densità di probabilità P(X'), i valori G' della osservabile G formano uno spettro
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Un'altra differenza essenziale tra la meccanica classica e quella quantistica sta nel fatto che, nella prima, se si sostituisce al gruppo dei valori
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possibili valori dell'energia, e le sue autofunzioni , che si possono interpretare come vettori unitari e ortogonali, diretti secondo gli assi principali
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dove Pk sarà ottenuta dalla P integrandola rispetto a tutte le coordinate, tranne xk, yk, zk, e per tutti i valori che quelle coordinate possono
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Secondo quanto si è detto a proposito della (118) queste relazioni tra operatori traducono le seguenti relazioni tra i valori medi delle
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I valori dell' osservabile sono dunque dati da , dove è un autovalore dell'equazione
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Similmente, moltiplicando per (indichiamo con un indice che assume tutti i valori interi e positivi tranne n) e integrando, avremo
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valori delle a, ma poichè queste figurano moltiplicate per quantità del primo ordine sarà sufficiente introdurvi i valori di prima approssimazione, cioè
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Confrontando con la (221) e notando che le sono i valori delle per t = 0, si vede che i coefficienti dello sviluppo (226) (che sono da riguardarsi
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(dove l'apice indica che si tratta di prima approssimazione). Integrando tra 0 e t si hanno i valori di prima approssimazione delle
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Dall'istante in poi i coefficienti tornano a diventare costanti, ma anzichè i valori (229) hanno i valori ottenuti dalle formule precedenti
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dove n' è fisso ed n assume tutti i valori interi da un certo valore in poi.
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cioè : di qui i due valori di , corrispondenti ai due valori 1,2 dell'indice s,
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(1) E precisamente per tutti i valori di N multipli di 4 : tali soluzioni però si possono ricondurre a quella, per N = 4.
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(1) Ricordiamo che, in tutto questo capitolo, si indicano con lettere greche gli indici che assumono i valori 1, 2, 3, 4, e con lettere latine quelli
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tutto questo capitolo, si indicano con lettere greche gli indici che assumono i valori 1, 2, 3, 4, e con lettere latine quelli che assumono solo i
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la quale, in virtù delle (375), fornisce per i due valori seguenti (la ragione della notazione apparirà tra breve):
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mentre l'autofunzione di spin si riduce, in sostanza, a un gruppo di due costanti e (corrispondenti rispettivamente ai due valori ± l della variabile
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Si noti che, poichè s può assumere solo due valori, esistono solo due «funzioni », ossia coppie (): supporremo tali «funzioni» ortogonali e
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Per calcolare le , calcoliamo, mediante le (391), le autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro coppie di valori (393) per ed ; otteniamo:
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questo solo per il nucleo: le formule dell'He quindi si applicano anche ad essi, cambiando i valori numerici. L'accordo con l'esperienza è anche in
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da cui, sostituendo i valori numerici, si ha tra λ espresso in Å e V espresso in volt la relazione seguente, facile da ricordare:
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DAVISSON e GERMER (servendosi sempre di un cristallo di nichel tagliato secondo un piano 111) disegnarono, per diversi valori di V, il diagramma
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L'esattezza con cui questa legge è verificata è mostrata dal diagramma della fig. 16, in cui i valori misurati di λsono portati come ordinate in
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β) la y deve assumere gli stessi valori ai due estremi e così la :
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Consideriamo p. es. il caso delle condizioni (α). Utilizzando l'espressione (2) dell'integrale generale, si tratta di ricercare due valori, non
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La stessa proprietà vale evidentemente anche se le condizioni agli estremi sono le (β), purchè il coefficiente P assuma gli stessi valori in a e b.
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Accademia della crusca
